Question

（2011•房山區一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，連接EB交OD于點F．
（1）求證：OD⊥BE；
（2）若DE=，AB=，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD．根據直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的性質以及平行線的性質即可證明；
（2）設AE=x．根據圓周角定理的推論和勾股定理進行求解．
解答：證明：（1）連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴DC=DB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴OD⊥BE．

解：（2）設AE=x，
∵OD⊥BE，
∴可得OD是BE的中垂線，
∴DE=DB，
∴∠1=∠2，
∴BD=ED=，
∵OD⊥EB，
∴FE=FB．
∴OF=AE=，DF=OD-OF=．
在Rt△DFB中，；
在Rt△OFB中，；
∴=．
解得，即．
點評：此題綜合運用了圓周角定理的推理、勾股定理以及等腰三角形的性質．