Question

【題目】如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F．

求證：(1)△ADF∽△EDB；

(2)CD2＝DEDF．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可得∠B+∠A=90°，∠A+∠F=90°，則∠B=∠F，從而得出△ADF∽△EDB；
（2）由（1）得∠B=∠F，再CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，得出CD=DB，根據(jù)等邊對等角得∠DCE=∠F，則可證明△CDE∽△FDC，從而得，化為乘積式即可CD2=DFDE．

證明：（1）在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°

∵DF⊥AB∴∠BDE=∠ADF=90°∴∠A+∠F=90°，

∴∠B=∠F，

∴△ADF∽△EDB；

（2）由（1）可知△ADF∽△EDB∴∠B=∠F，

∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線∴CD=AD=DB，∴∠DCE=∠B，∴∠DCE=∠F，

∴△CDE∽△FDC，∴=，

∴CD2=DFDE．