Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是直線AD與BC外的任意一點，連接PA、PB、PC、PD．請解答下列問題：

（1）如圖1，當點P在線段BC的垂直平分線MN上（對角線AC與BD的交點Q除外）時，證明△PAC≌△PDB；
（2）如圖2，當點P在矩形ABCD內部時，求證：PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（1，1），點D的坐標為（5，3），如圖3所示，設△PBC的面積為y，△PAD的面積為x，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形三邊關系對應相等得出△PAC≌△PDB即可；
（2）利用已知可證得四邊形ADGK是矩形，進而得出AK²=DG²，CG²=BK²，即可得出答案；
（3）結合圖形得出當點P在直線AD與BC之間時，以及當點P在直線AD上方時和當點P在直線BC下方時，分別求出即可．
解答：解：（1）作BC的中垂線MN，在MN上取點P，連接PA、PB、PC、PD，
如圖（1）所示，∵MN是BC的中垂線，
∴PA=PD，PC=PB，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=DB，
即，
∴△PAC≌△PDB（SSS），

（2）證明：過點P作KG∥BC，如圖（2）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA²=AK²+PK²
同理，PC²=CG²+PG²；PB²=BK²+PK²，PD²=+DG²+PG²
PA²+PC²=AK²+PK²+CG²+PG²，PB²+PD²=BK²+PK²+DG²+PG²
AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可證得四邊形ADGK是矩形，
∴AK=DG，同理CG=BK，
∴AK²=DG²，CG²=BK²
∴PA²+PC²=PB²+PD²

（3）∵點B的坐標為（1，1），點D的坐標為（5，3）
∴BC=4，AB=2，
∴S_矩形ABCD=4×2=8，
直線HI垂直BC于點I，交AD于點H，
當點P在直線AD與BC之間時，
S_△PAD+S_△PBC=BC•HI=4，
即x+y=4，因而y與x的函數關系式為y=4-x，
當點P在直線AD上方時，S_△PBC-S_△PAD=BC•HI=4，
而y與x的函數關系式為y=4+x，
當點P在直線BC下方時，S_△PAD-S_△PBC=BC•HI=4，
y與x的函數關系式為y=x-4．
點評：此題主要考查了矩形的判定與全等三角形的判定以及分類討論思想應用，根據已知得出P點不同位置得出y與x之間的關系是解題關鍵．