Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=2,AM、BN是它的兩條切線，CD與⊙O相切于點E，與BN、AM交于點C、D,設AD=x,BC=y。

(1)求證：AM∥BN。

(2)求y關于x的函數關系式。

（3）若x、y是關于t的方程2t-5t+m=0的兩根，且xy=，求x、y的值。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y=（x＞0）；（3）x=，y=2.

【解析】試題分析：（1）由AM和BN是⊙O的兩條切線，可得AB⊥AD，AB⊥BC，則可證得AM∥BN．

（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四邊形ABFD是矩形，然后根據切線長定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，則DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根據勾股定理，就可以求出y與x的關系．

(3)解一元二次方程即可求得結果.

試題解析：（1）證明：∵AM和BN是⊙O的兩條切線，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴AM∥BN．

（2）解：作DF⊥BN交BC于F，

∵AB⊥AM，AB⊥BN．

又∵DF⊥BN，

∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，

∴四邊形ABFD是矩形，

∴BF=AD=x，DF=AB=2，

∵BC=y，

∴FC=BC-BF=y-x；

∵AM和BN是⊙O的兩條切線，DE切⊙O于E，

∴DE=DA=x CE=CB=y，

則DC=DE+CE=x+y，

在Rt△DFC中，

由勾股定理得：（x+y）2=（x-y）2+22，

整理為：y=，

∴y與x的函數關系為：y=．

（3）由xy=及（2）問的結論，

得xy==1，m=2

所以原方程可以轉化為2t-5t+2=0，

即（t-2）（2t-1）=0，解得t=2或t=.

因為x＜y，所以x=，y=2.