Question

【題目】已知：如圖，∠MON＝90°，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，將△ABC的兩個頂點A、B放在射線OM和ON上移動，作CD⊥ON于點D，記OA＝x(當點O與A重合時，x的值為0)，CD＝y．

小明根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究．

下面是小明的探究過程，請補充完整．

(1)通過取點、畫圖、計算、測量等方法，得到了x與y的幾組值，如下表(補全表格)

x/cm	0	1	2	3	4	4.5	5
y/cm	2.4	3.0	3.5	3.9	4.0	3.9

(說明：補全表格時相關數值保留一位小數)

(2)建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象．

(3)結合畫出的函數圖象，解決問題；當x的值為　 　時，線段OC長度取得最大值為　 　cm．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當x=4時，OC長度的最大值為5

【解析】

（1）根據勾股定理求出AB的長，可知x=5時B點與O點重合，過C作CE⊥OA于E，利用直角三角形的性質可求出CE的長，利用勾股定理求出CD的長即可；（2）根據表中數據描點畫圖即可；（3）取AB中點E，連接OE、CE，在直角三角形AOB和直角三角形ABC中，OE=AB，CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值為OE+CE，即OC的最大值=AB=5．由AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°可知四邊形ACBO為矩形，可知D點與B重合，即y=4，由表中數據可知y=4時，x=4即可得答案.

（1）通過取點、畫圖、計算、測量等方法，得到了x與y的幾組值，如下表：

如圖：∵AC=3cm，BC=4cm，

∴AB==5cm，

∴x=5時，B與O重合，即OA=5，

過C作CE⊥OA于E，

∴CEOA=ACBC，解得：CE=2.4，

∴y=CD===3.2cm，

x/cm	0	1	2	3	4	4.5	5
y/cm	2.4	3.0	3.5	3.9	4.0	3.9	3.2

故表中答案為：3.2

（2）如下圖

（3）取AB中點E，連接OE、CE，

在直角三角形AOB和直角三角形ACB中，OE=AB=2.5，CE=AB=2.5，

∵OE+CE≥OC，

∴當E點在OC上時OC有最大值為OE+CE，

即OC的最大值=AB=5．

∵AB=OC，AE=BE，CE=OE，∠ACB=90°，

∴四邊形ACBO是矩形，

∴D與B重合，即BC=CD=y=4，

由表中數據可知y=4時x=4，

∴x=4時，OC長度的最大值為5.