Question

如圖，BD、BE分別是∠ABC與它的鄰補角∠ABP的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D為垂足．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）若

AE

AD

=3，F、G分別為AE、AD上的點，FG交AB于點H，且

AF

AG

=3，求證：△AHG是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據矩形的判定定理和已知條件，由角平分線性質可以得到∠EBD是90°，又AE⊥BE，AD⊥BD，可知∠E、∠D都是直角，所以四邊形是矩形．
（2）根據已知條件和等腰三角形的判定定理，連接ED，根據一直關系，可以得到

AE

AD

=

AF

AG

，所以FG∥ED，可得∠AGH=∠ADO，而AB、ED是矩形的角平分線，所以OA=OD，所以∠ADO=∠BAD，再利用等量代換即可得∠AGH=∠BAD．

解答：證明：（1）∵BD、BE分別是∠ABC與∠ABP的平分線，
∴∠ABD+∠ABE=

1

2

×180°=90°，
即∠EBD=90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四邊形AEBD是矩形．

（2）連接ED交AB于O，
∵

AE

AD

=3，

AF

AG

=3，
∴

AE

AD

=

AF

AG

=3，
∴FG∥ED，
∴∠ADO=∠AGH，
∵四邊形AEBD是矩形，
∴AB=DE，O是AB、DE的中點，
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠AGH=∠ADO=∠DAO，
∴AH=GH，
∴△AGH是等腰三角形．

點評：此題主要考查矩形的判定，而平行線分線段成比例定理是求等腰三角形的突破口．