Question

8、初三的靈靈從小就喜歡動手動腦，請看他的研究：
（1）以AB為直徑畫半圓O；
（2）在半圓O上任取一點C；
（3）畫∠ACB的角平分線與AB相交于點D；
（4）畫CD的中垂線L與AC、BC分別相交于E、F；
（5）連接DE、DF．
如圖，他發現：①∠ADE與∠BDF互余；②四邊形CEDF為正方形；③四邊形CEDF的面積為AE×BF．你認為其中正確的有（　　）

A、0個

B、1個

C、2個

D、3個

Answer 1

分析：由于AB是直徑，由圓周角定理知∠ACB=90°，而EF⊥OC，且OC是∠ECF的角平分線，即可證得△ECF是等腰直角三角形，CE=CF，由中垂線的性質知：CE=DE=CF=DF，即可證得四邊形CEDF是正方形，然后根據這個條件來判斷各選項是否正確．

解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
由（4）知：EF⊥CD，而CD平分∠ECF，易證得△ECF是等腰三角形；
∴CE=CF；
∵直線l垂直平分CD，
∴CE=DE，CF=DF，即CE=CF=DE=DF，
∴四邊形CEDF是正方形；（故②正確）
∴∠EDF=90°，則∠ADE+∠BDF=90°，（故①正確）
由②知：DF∥AC，則∠FDB=∠EAD，
易證得Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE•DF=AD•BD，即四邊形CEDF的面積為AD•DB，（故③正確）
因此3個結論都正確，
故選D．

點評：此題主要考查了圓周角定理、正方形的判定、線段垂直平分線的性質以及相似三角形的判定和性質等知識，能夠得到四邊形CEDF是正方形是解決此題的關鍵．