Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，點E在AD上，且ED=2AE．

（1）求證：△ABC∽△EAB．

（2）AC與BE交于點H，求HC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）HC=．

【解析】試題分析：(1)、根據矩形的性質得出AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，根據ED=3AE得出AE=，ED=，從而得到，然后結合公共角得出三角形相似；(2)、根據三角形相似得出∠BHC=90°，根據Rt△ABC的面積相等得出BH的長度，然后根據Rt△BHC的勾股定理求出CH的長度．

試題解析：(1)、證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∠ABC=∠BAD=90°，

∴ED=3AE，∴AE=，ED=∵，∴，

∵∠ABC=∠BAE=90°，∴△ABC∽△EAB

(2)、∵△ABC∽△EAB，∴∠ACB=∠ABE，∵∠ABE+∠CBH=90°，∴∠ACB+∠CBE=90°，∴∠BHC=90° ∴BH⊥AC

在Rt△ACB中，∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC=，∵ ∴BH=，

∴CH=.