Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂內切于點P，過P的直線交⊙O₁于A，交⊙O₂于B，AC切⊙O₂于C，交⊙O₁于D，且PB、PD的長恰好是關于x的方程x2-

m+16

x+4=0的兩個根．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）求PC的長；
（3）若弧BP=弧BC，且S_△PBC：S_△APC=1：k，求代數式m（k²-k）的值．

Answer 1

分析：（1）兩圓內切，通常是作兩圓的公切線，此題也不例外．過P作兩圓的公切線MN，根據弦切角定理，易證得∠MPA=∠PCB=∠D，而AD是⊙O₂切線，所以∠PCD=∠PBC，由此可證得△PBC∽△PCD，即可得到∠1=∠2．
（2）通過（1）題相似三角形所得到的比例線段，即可得到PC²=PB•PD，根據韋達定理可知PB•PD=4，由此可求出PC的長．
（3）由于△PBC和△APC等高不同底，所以面積比等于底邊的比，即AB：AP=（k-1）：k；由于弧BP=弧BC，則∠1=∠BCP=∠2，由此可證得PD∥BC，則△ABC∽△APD，故BC：PD=（k-1）：k，而BC=PB，代入上式可求得PD的表達式，根據韋達定理可求得PB+PD的值，即可得到PB的表達式，將PB、PD的值代入PB•PD=4中，即可求出代數式的值．

解答：（1）證明：過P作兩圓的公切線MN，則有：
∠MPA=∠PCB=∠D；
又∵AD是⊙O₂的切線，
∴∠PCD=∠PBC，
∴△PBC∽△PCD，
∴∠1=∠2．

（2）解：由（1）知：△PBC∽△PCD，得：
PB：PC=PC：PD，即PC²=PB•PD；
∵PB、PD的長是關于x的方程x2-

m+16

x+4=0的兩個根，
∴PB•PD=4，
∴PC²=4，即PC=2．

（3）解：∵S_△PBC：S_△APC=1：k，
∴AP：BP=k：1，即AB：AP=（k-1）：1；
∵

BP

=

BC

，
∴∠1=∠BCP，BP=BC；
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCP；
∴BC∥PD，
∴△ABC∽△APD，
∴

BC

PD

=

AB

AP

，即

BP

PD

=

AB

AP

；
∴

BP

PD

=

k-1

k

，即PB=

k-1

k

PD，
又∵PB+PD=

m+16

，
∴PB=

(k-1) m+16

2k-1

，PD=

k m+16

2k-1

；
∵PB•PD=4，即：

(k-1) m+16

2k-1

×

k m+16

2k-1

=4，
化簡得：k（k-1）（m+16）=4（2k-1）2，即：
（m+16）k²-（m+16）k=16k²-16k+4，
mk²-mk=4，即m（k²-k）=4．

點評：此題主要考查了韋達定理，弦切角定理，圓心角、弧、弦的關系以及相似三角形的判定和性質等知識，第（3）問的計算量較大，難點在于不知如何下手，能夠通過相似三角形和韋達定理得到PB、PD的表達式是解決此題的關鍵．