Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點B（﹣2，2），過反比例函數y=（x＜0，常數k＜0）圖象上一點A（﹣，m）作y軸的平行線交直線l：y=x+2于點C，且AC=AB．

（1）分別求出m、k的值，并寫出這個反比例函數解析式；

（2）發現：過函數y=（x＜0）圖象上任意一點P，作y軸的平行線交直線l于點D，請直接寫出你發現的PB，PD的數量關系 ；

應用：①如圖2，連接BD，當△PBD是等邊三角形時，求此時點P的坐標；

②如圖3，分別過點P、D作y的垂線交y軸于點E、F，問是否存在點P，使得矩形PEFD的周長取得最小值？若存在，請求出此時點P的坐標及矩形PEFD的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x＜0）（2）PB=PD①（1﹣， +1）；②存在，（﹣1，2），4

【解析】

試題分析：（1）求出AC、AB的表達式，根據AC=AB求出m的值，然后利用待定系數法求出k的值即可；

（2）設P（﹣m，）（m＞0），則D（﹣m，﹣m+2），根據勾股定理求出PB的長即可；①由△PBD是等邊三角形，于是得到PB=BD=PD，根據等邊三角形的性質得到（2﹣m）=（+m﹣2）解得：m=3﹣，或m=﹣1，于是得到P（﹣3，）或P（1﹣， +1）；②根據矩形的周長的計算公式得到矩形PEFD的周長=（﹣）2+4，根據二次函數的性質即可得到結論．

試題解析：（1）AC=m﹣，AB=，

∵AC=AF，

∴m=4，

∴點A（﹣，4），

∴k=﹣2，

∴y=﹣（x＜0）；

（2）設P（﹣m，）（m＞0），則D（m，m+2），

∴PD=﹣（﹣m+2）=+m﹣2，

BP==+m﹣2，

∴PD=PB；

故答案為：PB=PD；

①∵△PBD是等邊三角形，

∴PB=BD=PD，

∵PD∥y軸，

∴（2﹣m）=（+m﹣2）

∴+m﹣2=，

∴m=3﹣，或m=﹣1，

∴P（1﹣， +1）；

②答：存在滿足題設條件的點P．

設P（﹣m，）（m＞0），則D（﹣m，﹣m+2），

∴矩形PEFD的周長=2（PD+PE）=2（+m﹣2+m）=+4m﹣4=（﹣）2+4，

∴當﹣=0，即m=2時，P（﹣1，2）時，矩形PEFD的周長取得最小值為4．