Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標是（0，3），點A的坐標是（8，0），點B的坐標是（4，3），P、Q分別是x、y軸上的兩個動點，點P從C出發，在線段CB上以1個單位/秒的速度向點B移動，點Q從A出發，在線段AO上以2個單位/秒的速度向點O 移動．設點P、Q同時出發，運動的時間為t（秒）
（1）當t為何值時，PQ平分四邊形OABC的面積？
（2）當t為何值時，PQ⊥OB？
（3）當t為何值時，PQ∥AB？
（4）當t為何值時，△OPQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）由A，B及C的坐標得出BC，OA及OC的長，利用梯形的面積公式求出梯形OABC的面積，當PQ平分四邊形OABC面積時，梯形OCPQ面積為梯形OABC面積的一半，由CP=t，OQ=OA-AQ表示出OQ，利用梯形的面積公式列出關于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意t的值；
（2）當PQ垂直于OB時，過P作PM垂直于OA于M點，易得三角形OBC與三角形PMQ相似，由相似得比例，將各自的值代入得到關于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意t的值；
（3）當PQ平行于AB時，由PB與AQ平行，利用兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ABPQ為平行四邊形，可得出PB=AQ，由PB=BC-CQ表示出PB，列出關于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的t的值；
（4）分三種情況考慮：當OP=PQ時；當OQ=PQ時；當OP=OQ時，分別列出關于t的方程，即可得到所有滿足題意t的值．
解答：解：（1）由題意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3，
則S_{梯形OABC的面積}=×（4+8）×3=18，
當PQ平分梯形OABC的面積時，S_{梯形CPQO的面積}=×（t+8-2t）×3=9，
解得：t=2，
則當t=2時，PQ平分四邊形OABC的面積；
（2）當PQ⊥OB時，作PM⊥OA于點M，

∵∠BPM=∠PEB=90°，∠PNE=∠BNP，
∴△PNE∽△BNP，
∴∠NPE=∠NBP，又∠PMQ=∠BCO=90°，
∴△PMQ∽△BCO，
∴=，
又∵PM=CO=3，BC=4，MQ=OA-OM-AQ=OA-CP-AQ=8-t-2t=8-3t，
∴=，
解得：t=，
則當t=時，PQ⊥OB；
（3）∵當PQ∥AB時，由PB∥AQ，得到四邊形ABPQ為平行四邊形，
∴BP=AQ，
又∵BP=BC-CP=4-t，AQ=2t，
∴4-t=2t，
解得：t=，
則當t=時，PQ∥AB；
（4）分三種情況考慮：
（i）當OP=PQ時，作PF⊥OA于F，可得OF=FQ，

又∵OF=CP=t，FQ=OA-OF-AQ=8-t-2t=8-3t，
即t=8-3t，
解得：t=2；
（ii）當OP=OQ時，OQ=8-2t，
在Rt△CPO中，根據勾股定理得：OP²=OC²+CP²=3²+t²，
則3²+t²=（8-2t）²，
解得：t₁=（不合題意，舍去），t₂=，
故t=；
（iii）當QO=QP時，OQ=8-2t，PF=OC=3，FQ=8-3t，
∵在Rt△PQF中，根據勾股定理得：QP²=PF²+FQ²=3²+（8-3t）²，
∴3²+（8-3t）²=（8-2t）²，
解得t₁=，t₂=，
綜上所述，當t=2或t=或t=或t=時，△OPQ是等腰三角形．
點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及坐標與圖形性質，利用了數形結合及分類討論的數學思想，是一道綜合性較強的題．