Question

如圖，已知半圓O的直徑AB，將一個三角板的直角頂點固定在圓心O上，當三角板繞著點O轉動時，三角板的兩條直角邊與半圓圓周分別交于C、D兩點，連接AD、BC交于點E．
（1）求證：△ACE∽△BDE；
（2）求證：BD=DE恒成立．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理及對頂角相等可知∠CAE=∠DBE，∠AEC=∠BED，故可得出結論；
（2）由直角三角板的性質可知∠COD=90°，由圓周角定理可知∠DBE=∠DEB=45°，故△BDE是等腰直角三角形，故BD=DE恒成立．

解答：證明：（1）∵∠CAE=∠DBE，∠AEC=∠BED
∴△ACE∽△BDE；

（2）∵∠COD=90°
∴∠DBE=

1

2

×90°=45°，
∵AB為直徑，
∴∠BDE=90°，
∴∠DEB=∠DBE=45°，
∴BD=DE恒成立．

點評：本題考查的是相似三角形的判定，圓周角定理及等腰三角形的性質，根據題意判斷出△BDE是等腰直角三角形是解答此題的關鍵．