Question

如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，AE平分∠BAC分別交DC、BC于點H、E，延長AB至點F，使BF=BE，連接CF，延長AE交CF于點G，連接OG．下列結論：①△ABE≌△CBF；②OG∥AB；③AH=HG；④以AG為直徑的圓與CF相切．其中正確的個數有（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①根據“SAS”可證明，故正確；
②由①可得∠F=∠AEB；又∠AEB+∠EAB=90°，所以∠F+∠BAE=90°，即AG⊥CF．根據“ASA”證明△FCG≌△CAG，得G是CF的中點．根據三角形中位線定理可得OG∥AB，故正確；
③因為AO=OC，若AH=HG，則OH∥CG；而OB∥EF，故錯誤；
④由②可證，故正確．
解答：解：①∵AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF．故正確；
②∵△ABE≌△CBF，
∴∠AEB=∠F．
∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠F+∠BAE=90°，
∴∠AGF=90°=∠AGC．
又∵∠CAG=∠FAG，AG公共邊，
∴△FAG≌△CAG．
∴FG=CG．
∵AO=OC，
∴OG∥AB．故正確；
③∵AO=OC，若AH=HG，則OH∥CG．而OB∥EF，故錯誤；
④∵AG⊥CF，
∴以AG為直徑的圓與CF相切．故正確．
所以正確的有①②④3個．
故選C．
點評：此題考查正方形的性質、全等三角形的判定及性質、三角形中位線定理、切線的判定方法等知識點，綜合性較強．