Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于點G，點E、F分別為AG、CD的中點，連接DE、FG．
（1）求證：四邊形DEGF是平行四邊形；
（2）當點G是BC的中點時，求證：四邊形DEGF是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出平行四邊形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根據平行四邊形的判定推出即可；
（2）連接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根據菱形的判定推出即可．
解答：證明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四邊形AGCD是平行四邊形，
∴AG=DC，
∵E、F分別為AG、DC的中點，
∴GE=AG，DF=DC，
即GE=DF，GE∥DF，
∴四邊形DEGF是平行四邊形；

（2）連接DG，
∵四邊形AGCD是平行四邊形，
∴AD=CG，
∵G為BC中點，
∴BG=CG=AD，
∵AD∥BG，
∴四邊形ABGD是平行四邊形，
∴AB∥DG，
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°，
∵F為CD中點，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF，
∵四邊形DEGF是平行四邊形，
∴四邊形DEGF是菱形．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上中線性質等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．