Question

（2003•海淀區）已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊上的中點，連接DE．
（1）如圖，求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形，并在此條件下求sin∠CAE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要證∠EDO=90°，即可得到DE是⊙O的切線；
（2）根據平行的性質可得知：∠CAB=45°所以，sin∠CAE=．
解答：（1）證明：
證法一：如圖1，連接OD、DB；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E為BC邊上的中點，
∴CE=EB=DE，
∴∠1=∠2．
∵OB=OD，
∴∠3=∠4．
∴∠1+∠4=∠2+∠3．
∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，
∴∠EDO=∠1+∠4=90°．
∵D為⊙O上的點，
∴DE是⊙O的切線．

證法二：如圖2，連接OD、OE．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵E為BC邊上的中點，O為AB邊上的中點，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△EDO≌△EBO，
∴∠EDO=∠EBO．
∵△ABC為直角三角形，
∴∠EBO=90°，
∴∠EDO=90°；
∵D為⊙O上的點，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠CAB=45°時，D為線段AC的中點，切線DE∥AB，
四邊形ODEB為正方形，此時，四邊形AOED是平行四邊形，
設AO=OB=2，則BE=EC=2，在Rt△ABE中，AE==，
易證△CEF為等腰直角三角形，則EF=，
∴sin∠CAE==．
點評：主要考查了切線的判定方法和平行四邊形的判定及其性質的運用．要掌握這些基本性質才會在綜合習題中靈活運用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．