Question

若p，q，

2p-1

q

，

2p-1

p

都是整數，并且p＞1，q＞1．求pq的值．

Answer 1

分析：由于p、q的大小不能確定，故可先假設p=q，則

2p-1

q

=

2p-1

p

，可得出此式不是整數，再設p＜q，根據

2p-1

q

和

2p-1

p

都是整數即可求出p、q的值，進而可求出答案．

解答：解：若p=q，則

2p-1

q

=

2p-1

p

=2-

1

p

，
不是整數，所以p≠q．不妨設p＜q，于是
1≤

2p-1

q

＜

2q-1

q

＜

2q

q

=2，
而

2p-1

q

是整數，故

20-1

q

=1，即q=2p-1，
又因為

2q-1

p

=

4p-3

p

=4-

3

p

是整數，
所以p只能為3，從而q=5．
所以pq=3×5=15．

點評：本題考查的是數的整除性問題，解答此題的關鍵是利用分類討論的思想分p=q及p＜q兩種情況進行討論．