Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+c與x軸正半軸交于點F(16，0)、與y軸正半軸交于點E(0，16)，邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合；

  

(1) 求拋物線的函數表達式；

(2) 如圖2，若正方形ABCD在平面內運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q(運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合)。設點A的坐標為(m，n) (m>0)。

j 當PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標；

k 在j的基礎上，當正方形ABCD左右平移時，請直接寫出m的取值范圍；

l 當n=7時，是否存在m的值使點P為AB邊中點。若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

 

（1）y= -x2+16

（2）jP(8，12)    Q(8，-4)

k 8-16<m<8

l 不存在

解析:

(1) 由拋物線y=ax2+c經過點E(0，16)、F(16，0)得：，

解得a= -，c=16，∴y= -x2+16；

(2) j 過點P做PG^x軸于點G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，

          ∴OG=OF=´16=8，即P點的橫坐標為8，∵P點在拋物線上，

          ∴y= -´82+16=12，即P點的縱坐標為12，∴P(8，12)，

          ∵P點的縱坐標為12，正方形ABCD邊長是16，∴Q點的縱坐標為-4，

           ∵Q點在拋物線上，∴-4= -x2+16，∴x1=8，x2= -8，

          ∵m>0，∴x2= -8(舍去)，∴x=8，∴Q(8，-4)；

          k 8-16<m<8；

          l 不存在；

    理由：當n=7時，則P點的縱坐標為7，∵P點在拋物線上，∴7= - x2+16，

     ∴x1=12，x2= -12，∵m>0，∴x2= -12(舍去)，∴x=12，∴P點坐標為(12，7)，

         ∵P為AB中點，∴AP=AB=8，∴點A的坐標是(4，7)，∴m=4，

         又∵正方形ABCD邊長是16，∴點B的坐標是(20，7)，

        點C的坐標是(20，-9)，∴點Q的縱坐標為-9，∵Q點在拋物線上，

        ∴ -9= -x2+16，∴x1=20，x2= -20，∵m>0，∴x2= -20(舍去)，x=20，

         ∴Q點坐標(20，-9)，∴點Q與點C重合，這與已知點Q不與點C重合矛盾，

         ∴當n=7時，不存在這樣的m值使P為AB邊的中點。