Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．

（1）求m的值及這個二次函數的關系式；

（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點E，設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．菁優網版權所有

【專題】壓軸題．

【分析】（1）因為直線y=x+m過點A，將A點坐標直接代入解析式即可求得m的值；設出二次函數的頂點式，將（3，4）代入即可；

（2）由于P和E的橫坐標相同，將P點橫坐標代入直線和拋物線解析式，可得其縱坐標表達式，h即為二者之差；根據P、E在二者之間，所以可知x的取值范圍是0＜x＜3；

（3）先假設存在點P，根據四邊形DCEP是平行四形的條件進行推理，若能求出P點坐標，則證明存在點P，否則P點不存在．

【解答】解：（1）∵點A（3，4）在直線y=x+m上，

∴4=3+m．

∴m=1．

設所求二次函數的關系式為y=a（x﹣1）²．

∵點A（3，4）在二次函數y=a（x﹣1）²的圖象上，

∴4=a（3﹣1）²，

∴a=1．

∴所求二次函數的關系式為y=（x﹣1）²．

即y=x²﹣2x+1．

（2）設P、E兩點的縱坐標分別為y_P和y_E．

∴PE=h=y_P﹣y_E

=（x+1）﹣（x²﹣2x+1）

=﹣x²+3x．

即h=﹣x²+3x（0＜x＜3）．

（3）存在．

解法1：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC．

∵點D在直線y=x+1上，

∴點D的坐標為（1，2），

∴﹣x²+3x=2．

即x²﹣3x+2=0．

解之，得x₁=2，x₂=1（不合題意，舍去）

∴當P點的坐標為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．

解法2：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有BP∥CE．

設直線CE的函數關系式為y=x+b．

∵直線CE經過點C（1，0），

∴0=1+b，

∴b=﹣1．

∴直線CE的函數關系式為y=x﹣1．

∴

得x²﹣3x+2=0．

解之，得x₁=2，x₂=1（不合題意，舍去）

∴當P點的坐標為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．

【點評】此題考查了用待定系數法求函數解析式以及函數圖象上點的坐標特征，結合圖形有利于解答；

（3）是一道存在性問題，有一定的開放性，需要先假設點P存在，然后進行驗證計算．