Question

“2007春節”將至，某商場計劃進A、B兩種型號的襯衣共80件，商場用于買襯衣的資金不少于4288元，但不超過4300元．兩種型號的襯衣進價和售價如下表：

	A	B
進價（元/件）	50	56
售價（元/件）	60	68

（1）該商場對這種型號的襯衣有哪幾種進貨方案？
（2）該商場如何獲得利潤最大？
（3）現據商場測算，每件B型襯衣的售價不會改變，每件A型襯衣的售價將會提高m元（m＞0），且所有的襯衣可全部售出，該商場又將如何進貨才能滿足獲得利潤最大？（注：利潤=售價-成本）

Answer 1

解：（1）設A型襯衣進x件，B型襯衣進（80-x）件，
則：4288≤50x+56（80-x）≤4300，
解得：30≤x≤32．
∵x為整數，
∴x為30，31，32，
∴有3種進貨方案：
A型30件，B型50件；
A型31件，B型49件；
A型32件，B型48件．

（2）設該商場獲得利潤為w元，
w=（60-50）x+（68-56）（80-x）
=-2x+960，
∵k=-2＜0∴w隨x增大而減�。�
∴當x=30時w_最大=900，
即A型30件，B型50件時獲得利潤最大．

（3）由題意可知w=（60+m-50）x+（68-56）（80-x）=（m-2）x+960，
①0＜m＜2時，w隨x增大而減小，當x=30即A型30套，B型50套時利潤最大．
②m=2時，三種進貨方式利潤一樣大．
③m＞2時，w隨x的增大而增大．當x=32即A型32套，B型48套時利潤最大．
分析：（1）本題的不等式關系為：購買A型襯衣的價錢+購買B型襯衣的價錢應該在4288-4300元之間，根據此列出不等式，得出自變量的取值范圍，判斷出符合條件的進貨方案．
（2）可根據利潤=A襯衣的利潤+B襯衣的利潤，列出函數式，根據函數的性質和（1）得出的自變量的取值范圍，判斷出利潤最大的方案．
（3）根據（2）中的等量關系可得出一個關于總利潤和m的函數關系式，根據函數性質和m的取值范圍，判斷出不同情況下哪種利潤最大．
點評：（1）根據兩種襯衣的價錢之和在4288-4300元之間，列不等式組并根據衣服件數不能為負數解答；
（2）根據利潤=售價-進價，列出利潤關于x的一元一次方程解答；
（3）利用（2）中表達式，根據m的取值范圍計算即可．