Question

【題目】如圖，已知∠MON＝90°，點A在射線OM上運動，點B在射線ON上運動，OA＞OB，點P在∠MON的平分線上，PA＝PB．

（1）∠APB的大小是否發生變化？請說明理由；

（2）連接AB，點E是AB的中點，點F是OP的中點，求證：EF⊥OP．

Answer 1

【答案】（1）∠APB的大小不會變化，理由見解析；（2）見解析

【解析】

（1）過點P作PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，由角平分線的性質可得PC＝PD，由“HL”可證Rt△ACP≌Rt△BDP，可得∠APC＝∠BPD，可求∠APB＝90°；

（2）由直角三角形的性質可得OE＝PE＝AB，由等腰三角形的性質可得EF⊥OP．

解：（1）∠APB的大小不會變化，

理由如下：如圖，過點P作PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，連接OE，PE，EF，

∵PC⊥AO，PD⊥OB，∠MON＝90°，

∴四邊形CPDO是矩形，

∴∠CPD＝90°，

∵點P在∠MON的平分線上，PC⊥AO，PD⊥OB，

∴PC＝PD，且PA＝PB，

∴Rt△ACP≌Rt△BDP（HL）

∴∠APC＝∠BPD，

∵∠BPC+∠BPD＝90°，

∴∠BPC+∠APC＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴∠APB的大小不會變化．

（2）∵點E是AB的中點，∠AOB＝∠APB＝90°，

∴OE＝AB，PE＝AB，

∴OE＝PE，且點F是OP的中點，

∴EF⊥OP