Question

已知兩個正數的立方和是最小的質數．求證：這兩個數之和不大于2．

Answer 1

分析：本題從正面無從下手，故應采用反證法，假設a+b＞2，由于a³+b³=2，必有一數小于或等于1，設b≤1，則a＞2b，可得到a³＞（2-b）³，再把a³+b³=2代入可得（b-1）²＜0，故假設不成立，原結論正確．

解答：證明：設這兩個正數為a，b．則原題成為已知a³+b³=2，求證a+b≤2，（反證法）
若a+b＞2，由于a³+b³=2，必有一數小于或等于1，
設b≤1，則a＞2b，因為這個不等式兩邊均為正數，所以a³＞（2-b）³，
a³＞8-12b+6b²-b³，即a³+b³＞8-12b+6b²，
故6b²-12b+6＜0，即b²-2b+1＜0，
即（b-1）²＜0不成立，
所以a+b≤2．
即本題的結論是正確的．

點評：本題考查的是質數與合數、不等式的基本性質、完全平方數，涉及面較廣，有一定的難度．