Question

如圖，已知∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長交BP于點F．
（1）試說明：∠AEQ=90°；
（2）猜想EF與圖中哪條線段相等（不能添加輔助線產生新的線段），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質得出AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根據SAS證△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；
（2）根據等邊三角形性質求出∠ABE=∠AEB=60°，根據∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△ABE和△APQ是等邊三角形，
∴AB=AE，AP=AQ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，
∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，
∴∠BAP=∠EAQ，
在△BAP和△EAQ中

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

∴△BAP≌△EAQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABC=90°；

（2）解：EF=BF，
理由是：∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=∠AEB=60°，
∵∠ABC=90°=∠AEQ，
∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，∠EBF=90°-60°=30°，
∴∠EBF=∠BEF，
∴EF=BF．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定的應用．