Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延長線于點E，AF⊥CD交CD的延長線于點F．求證：AE=AF．

Answer 1

【答案】分析：方法一：根據菱形的四條邊都相等可得AB=AD，對角相等可得∠ABC=∠ADC，再根據等角的補角相等可得∠ABE=∠ADF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證．
方法二：根據菱形的四條邊都相等，再利用菱形的面積證明即可．
解答：證明：方法一：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，
∴180°-∠ABC=180°-∠ADC，
即∠ABE=∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF．

方法二：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴菱形ABCD的面積=BC•AE=CD•AF，
∴AE=AF．
點評：本題考查了菱形的四條邊都相等，對角相等的性質，全等三角形的判定與性質，證明邊相等，想辦法證明邊所在的三角形全等是常用的方法之一，一定要樹立掌握并靈活運用．