Question

如圖，已知△ABC，以BC為直徑，O為圓心的半圓交AC于點F，點E為的中點，連接BE交AC于點M，AD為△ABC的角平分線，且AD⊥BE，垂足為點H．
（1）求證：AB是半圓O的切線；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EC，AD為△ABC的角平分線，得∠1=∠2，又AD⊥BE，可證∠3=∠4，由對頂角相等得∠4=∠5，即∠3=∠5，由E為的中點，得∠6=∠7，由BC為直徑得∠E=90°，即∠5+∠6=90°，由AD∥CE可證∠2=∠6，從而有∠3+∠7=90°，證明結論；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由∠3=∠4得AM=AB=3，則CM=AC-AM=2，由（1）可證△CME∽△BCE，利用相似比可得EB=2EC，在Rt△BCE中，根據BE²+CE²=BC²，得BE²+（）²=4²，可求BE．
解答：（1）證明：連接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4（1分）
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，（2分）
又∵E為的中點，
∴∠6=∠7，（3分），
∵BC是直徑，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直徑，
∴AB是半圓O的切線；（4分）

（2）解：∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=5（5分）
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2（6分）
∵∠6=∠7，∠E為公共角，
∴△CME∽△BCE，得===，（7分）
∴EB=2EC，在Rt△BCE中，BE²+CE²=BC²，
即BE²+（）²=4²，
解得BE=．（8分）
點評：本題考查了切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，勾股定理的運用．關鍵是由已知條件推出相等角，構造互余關系的角推出切線，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出邊長的關系，由勾股定理求解．