Question

如圖，已知邊長為a的正方形ABCD，在AB、AD上分別取點P、S，連接PS，將Rt△SAP繞正方形中心O旋轉180°得Rt△QCR，從而得四邊形PQRS．試判斷四邊形PQRS能否變化成矩形？若能，設PA=x，SA=y，請說明x、y具有什么關系時，四邊形PQRS是矩形；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：根據Rt△SAP與Rt△QCR關于點O對稱即可求得平行四邊形PQRS，從而可以求證△BPQ∽△ASP，即可得

BP

AS

=

BQ

AP

，即可解題．

解答：解：∵Rt△SAP與Rt△QCR關于點O對稱，
∴QS與PR被O點平分，得到平行四邊形PQRS，若平行四邊形PQRS變成矩形，不妨設∠QPS=90°，
則∠BPQ+∠APS=90°，又∠APS+∠ASP=90°，
∴∠BPQ=∠ASP，從而△BPQ∽△ASP∴

BP

AS

=

BQ

AP

，即

a-x

y

=

a-y

x

整理得 （x-y）（x+y-a）=0，∴x=y或x+y=a，
故當x=y或x+y=a時，可證得△BPQ∽△ASP，
∠QPS=90°，從而得平行四邊形PQRS是矩形．

點評：本題考查了矩形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，本題中求證△BPQ∽△ASP是解題的關鍵．