Question

如圖P是△ABC所在平面上一點．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P就叫做費馬點．

（1）當△ABC是等邊三角形時，作尺規法作出△ABC費馬點．（不要求寫出作法，只要保留作圖痕跡）

（2）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=．四邊形CDPE是正方形，CD在AC上，CE在BC上，P是△ABC的費馬點．求：P點到AB的距離．

（3）已知：銳角△ABC，分別以AB，AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點．

①求∠CPD的度數；

②求證：P點為△ABC的費馬點．

Answer 1

解：（1）△ABC費馬點如圖所示：

（2）連接AP，BP，CP并延長交AB于Q點．

∵P是△ABC費馬點，

∴∠APC=∠BOC=120°．

∵四邊形CDPE是正方形，

∴∠PCD=∠PCE=45°．

∵CP=CP，

∴△ACP≌△DCP．

∴AP=BP．

∴CQ⊥AB．

∵∠APC=120°，

∴∠APQ=60°．

∴PQ=AQ3．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=2AC=2×6=23．

AQ=AB2=3，

∴PQ=33=1．

（3）①∵△ACE≌△ABD，

∵∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∵∠CPD=∠5=60°． ②∵△ADF∽△CFP，

∴AFPF=DFCF．

∵∠AFP=∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF=∠ACD=60°．

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°．

∴∠BPC=120°．

∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°．

∴P點為△ABC的費馬點．