Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE=45°（A，D，E按逆時針方向）．如圖，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若點D的運動速度為1個單位長度每秒時，設y=AD²，點D的運動時間為t，求y與t的函數關系，并求當△ADE是等腰三角形時AE的長．

Answer 1

解：（1）如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠2+∠ADE=∠1+∠B，即∠2+45°=∠1+45°，
∴∠1=∠2，
∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．
易求AF=BF=5，則AD²=DF²+AF²．
所以，根據題意，得到：
y=（5-t）²+50，即y=t²-10t+100（0≤t≤10）．
當△ADE是等腰三角形時，分三種情況：
①當AD=AE時，∠ADE=∠AED=45°時，得到∠DAE=90°，點D、E分別與B、C重合，則AE=AC=10．
②當AD=DE時，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD=DE，知△ABD≌△DCE．
∴AB=CD=10，∴BD=CE=10-10，
∴AE=AC-CE=20-10．
③當AE=DE時，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
∴DE=AE=AC=5．
綜上所述，當AE的長度為10、20-10、5時，△ADE是等腰三角形．
分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠B=∠C=45°；由三角形外角的性質得到∠2+∠ADE=∠1+∠B，即∠2+45°=∠1+45°，故∠1=∠2；所以由“兩角法”判定這兩個三角形相似；
（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．根據等腰直角三角形的性質易求AF=BF=5，則AD²=DF²+AF²．把相關線段的長度代入即可求得y與t的函數關系式；當△ADE是等腰三角形時，需要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三種情況進行討論．
點評：考查相似三角形的判定和性質，相似三角形和全等三角形的轉化．分情況討論等腰三角形的可能性．