Question

如果對一切x的整數值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數（即整數的平方），
證明：（1）2a，2b，c都是整數；
（2）a，b，c都是整數，并且c是平方數；
（3）反過來，如（2）成立，是否對一切x的整數值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數？

Answer 1

證明：（1）∵對一切x的整數值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數，
∴令x=0，a•0²+b•0+c=c，
c是整數且是平方數，
令x=1，-1時a•1²+b•1+c，a•（-1）²+b•（-1）+c是平方數，
∴可設a•1²+b•1+c=m₁²①a•（-1）²+b•（-1）+c=n₁²
②c=k₁²（m₁n₁k₁均為整數），
①-②得：2b=m₁²-n₁²，
∴2b為整數（整數相減為依然為整數），
由①得：2a=2m₁²-2b-2c，
∴2a為整數，
∴2a，2b，c都是整數；

（2）（1）中已證c是整數且是平方數，
令x=2，-2時，可設a•2²+b•2+c=m₂²③a•（-2）²+b•（-2）+c=n₂²④c=k₁²（m₂n₂k₁均為整數），
③-④得：4b=m₂²-n₂²=（m₂+n₂）（m₂-n₂）=2（2b），
∵2b為整數，
∴2（2b）為偶數，則m₂²-n₂²為偶數，
∴（m₂+n₂），（m₂-n₂）同奇同偶，
則可設（m₂+n₂）=2m，（m₂-n₂）=2n（m，n均為整數），
∴4b=2m•2n=4mn，
∴b=mn，
∴b為整數；

（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，則ax²+bx+c=3，而3不是平方數．
∴不一定成立．