Question

【題目】（1）如圖①，正方形ABCD，點E、點F分別在AB和AD上，且AE=AF．此時，線段BE、DF的數量關系是 ，位置關系是 ．請直接寫出結論．

(2)如圖②,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α,當0°<α<90°時,連接BE、DF,此時(1)中的結論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由。

(3)如圖③,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α,當90°<α<180°時，連接BD、DE、EF、FB，得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是什么特殊四邊形?請直接寫出結論.

Answer 1

【答案】（1）BE=DF，BE⊥DF；（2）BE=DF，BE⊥DF；證明見解析；（3）正方形.

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；

（2）根據旋轉角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DF，全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠ADF，延長DF交BE于O，求出∠ABE+∠2=90°，從而得到∠BOD=90°，根據垂直的定義得到BE⊥DF；

（3）連接BE、DF，同理求出BE=DF，BE⊥DF，再根據對角線相等且互相垂直的四邊形的中點組成的四邊形是正方形解答．

(1)在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，

∵AE=AF，

∴ABAE=ADAF，

即BE=DF，

∵∠A=90°，

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

(2)∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

延長DF交BE于O，

∵∠ADF+∠1=90°，∠1=∠2(對頂角相等)，

∴∠ABE+∠2=90°，

∴∠BOD=180°90°=90°，

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

(3)連接BE、DF，

與(2)同理求出BE=DF，BE⊥DF，

故順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是正方形.