Question

如圖，點D是Rt△ABC斜邊AB上一點，點E是直線AC左側一點，且EC⊥CD，∠EAC=∠B．
（1）求證：△CDE∽△CBA；
（2）如果點D是斜邊AB的中點，且tan∠BAC=

3

2

，試求

S△CDE

S△CBA

的值． （S_△CDE表示△CDE的面積，S_△CBA表示△CBA的面積）

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）先由∠ECD=∠ACB=90°，得出∠ECA=∠BCD，又∠EAC=∠B，根據兩角對應相等的兩三角形相似得出△ACE∽△BCD，再由相似三角形的對應邊成比例得出CE：CD=AC：BC，即CD：BC=CE：AC，又∠ECD=∠ACB，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似得出△CDE∽△CBA；
（2）先由tan∠BAC=

3

2

，根據正切函數的定義設BC=3k，則AC=2k，由勾股定理求出AB=

13

k，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD=

13

2

k，然后由相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求解．

解答：（1）證明：∵EC⊥CD，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
即∠ECA=∠BCD，
又∵∠EAC=∠B，
∴△ACE∽△BCD，
∴CE：CD=AC：BC，
∴CD：BC=CE：AC．
在△CDE與△CBA中，

∠ECD=∠ACB=90° CD：BC=CE：AC

，
∴△CDE∽△CBA；

（2）解：在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

BC

AC

=

3

2

，
∴可設BC=3k，則AC=2k，
∴AB=

BC2+AC2

=

13

k．
∵點D是斜邊AB的中點，
∴CD=

1

2

AB=

13

2

k．
∵△CDE∽△CBA，
∴

S△CDE

S△CBA

=（

CD

CB

）²=（

13 2 k

3k

）²=

13

36

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，三角函數的定義，有一定難度．（1）中證明出△ACE∽△BCD，根據相似三角形的對應邊成比例得出CD：BC=CE：AC是解題的關鍵．