Question

如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間為t（0＜t＜）秒．解答如下問題：
（1）當t為何值時，PQ∥BO？
（2）設△AQP的面積為S，
①求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值；
②若我們規定：點P、Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則新坐標（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁）稱為“向量PQ”的坐標．當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標．

Answer 1

解：（1）∵A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），
則OB=6，OA=8，
∴AB===10．
如圖①，當PQ∥BO時，AQ=2t，BP=3t，則AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，
∴當t=秒時，PQ∥BO．
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如圖②所示，過點P作PD⊥x軸于點D，則PD∥BO，
∴，即，
解得PD=6﹣t．S=AQPD=×2t×（6﹣t）=6t﹣t²=﹣（t﹣）²+5，
∴S與t之間的函數關系式為：S=﹣（t﹣）²+5（0＜t＜），
當t=秒時，S取得最大值，最大值為5（平方單位）．
②如圖②所示，當S取最大值時，t=，∴PD=6﹣t=3，
∴PD=BO，
又PD∥BO，
∴此時PD為△OAB的中位線，則OD=OA=4，
∴P（4，3）．又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．
依題意，“向量PQ”的坐標為（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴當S取最大值時，“向量PQ”的坐標為（，﹣3）．