Question

（2008•蘭州）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，根據角之間的互余關系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切線；
（2）根據圓周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案．
解答：（1）證明：連接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE．（3分）
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°．
∴∠OAE=∠DEA=90°．
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切線．（5分）

（2）解：∵BD是直徑，
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°．（6分）
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA=60°．
∴∠ABD=∠EAD=30°．（8分）
∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4DE．
∵DE的長是1cm，
∴BD的長是4cm．（10分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．