Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，已知AC=3，BC=4，點M是AB邊上的一個動點，∠DME的兩邊與折線A—C—B分別交于點D和點E(點E在點D的右邊)，且∠DME=∠A，若能使以點D，E，M為頂點的三角形與△ABC相似的點D有三個，則AM的長度x的取值范圍是________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

當(dāng)CM⊥AB于點M，DM⊥AC于點D時，此時點C，E重合，根據(jù)已知條件易證△DCM∽△CAB∽△ACM，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求出x的值，即可得到x的取值范圍；如圖，當(dāng)點M為AB的中點，ME⊥BC于點E，點C、D重合，利用直角三角形斜邊的性質(zhì)，可求出AM的長，同理可得到點D的另一個點，綜上所述，可得到x的取值范圍.

如圖，CM⊥AB于點M，DM⊥AC于點D，此時點C，E重合，

∴∠CDM=∠ACB=∠AMC=90°，

∴∠DMC+∠ADM=90°，∠ADM+∠A=90°，

∴∠A=∠DME

∴△DCM∽△CAB∽△ACM，

∴

在Rt△ABC中，

∴

解得，

∴0＜x＜；

如圖，當(dāng)點M為AB的中點，ME⊥BC于點E，點C、D重合.

∵BC⊥AC

∴ME∥AC

∴∠CME=∠ACM

∵CM是Rt△ABC的中線，

∴CM=AM=BM= ，

∴∠A=∠ACM=∠CME

∴x=；

同理可得到點D的另一個點，此時

∴x的取值范圍為 <x<

故答案為：或