Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)．以2cm/s的速度沿射線AD方向運(yùn)動，以AE為底邊，在AD的右側(cè)作等腰直角角形AEF，當(dāng)點(diǎn)F落在射線BC上時，點(diǎn)E停止運(yùn)動，設(shè)△AEF與矩形ABCD重疊部分的面積為S，運(yùn)動的時間為t（s）．

（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)F落在射線BC上；

（2）當(dāng)線段CD將△AEF的面積二等分時，求t的值；

（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）當(dāng)S=17時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）8（2）6（3）S=（4）5

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出FH=8cm，再由運(yùn)動得出FH=t，即可；

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出斜邊上的高也是中線，根據(jù)三角形的中線把三角形AEF面積平分，判斷出點(diǎn)F在CD上，即可；

（3）分三種情況先利用矩形和運(yùn)動的特點(diǎn)顯示出三角形高，底邊和梯形的上下底，高，再利用三角形和梯形的面積公式求解；

（4）先判斷出面積是17時，運(yùn)動時間在3＜t≤6內(nèi)，再直接代入函數(shù)關(guān)系式中，即可．

試題解析：（1）如圖1，

過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，

在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠BAD=90°，

∵點(diǎn)F落在射線BC上，

∴FH=8cm，

∴t=8s，

（2）如圖2，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴AE邊上的高線也是該邊的中線，

∴點(diǎn)F在邊CD上時，CD將△AEF的面積二等分，

∵FD是直角三角形的斜邊的直線，

∴由運(yùn)動知，F(xiàn)D=AD=6=t，

∴t=6s，

（3）當(dāng)0＜t≤3時，如圖3，

過點(diǎn)F作FH⊥AD，

由運(yùn)動知，AE=2t，

∴FH=AE=t，

∴S=AE×FH=t2，

當(dāng)3＜t≤6時，如圖4，

過點(diǎn)F作FH⊥AD，

由運(yùn)動知，AE=2t，

∴DG=DE=2t﹣6，F(xiàn)H=t，DH=6﹣t，

∴S=S△AEF+S梯形DHFG=×AE×FH+（DG+FH）×DH=××2t×t+（2t﹣6+t）×（6﹣t）=﹣t2+12t﹣18，

當(dāng)6＜t≤8時，如圖5，

過點(diǎn)F作FH⊥AD，

∴DG=AD=6

∴S=S△ADG=AD×GD=18；

∴S=，

（4）由函數(shù)關(guān)系式知，S=17的運(yùn)動時間在3＜t≤6中，

將S=17代入S=﹣t2+12t﹣18中，

∴﹣t2+12t﹣18=17，

∴t=7（舍）或t=5

∴當(dāng)S=17時，t的值為5s．