Question

如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，點D的坐標為（-2，0），點A的橫坐標是2，tan∠CDO=．
（1）求點A的坐標；
（2）求一次函數和反比例函數的解析式；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AE⊥x軸于E，由D、E坐標可以得到OD=OE，根據三角函數的定義得到tan∠ADE=，而tan∠CDO=tan∠ADE=，由此利用已知條件可以求出AE，也就求出A的坐標；
（2）首先利用待定系數法確定反比例函數y=的k值，然后根據一次函數y=ax+b過A（2，2），D（-2，0），也利用待定系數法確定函數解析式；
（3）由反比例函數和直線有交點得到=x+1，解方程即可求出B的坐標，然后利用割補法就可以得到S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，利用已知條件即可解決問題．
解答：解：（1）過A作AE⊥x軸于E
∵D（-2，0），E（2，0），
∴OD=OE，
∵Rt△AED中，∠AED=90°，
∴tan∠ADE=，
∵tan∠CDO=tanADE=，OD=2，OE=2，
∴AE=DE•tan∠ADE=×4=2，
∴A（2，2）；

（2）∵反比例函數y=過點A（2，2），
∴k=4，
∴y=，
∵一次函數y=ax+b過A（2，2），D（-2，0），
∴，
∴，
∴y=x+1；

（3）∵=x+1，
∴x²+2x-8=0，
∴（x+4）（x-2）=0，
∴x₁=-4，x₂=2，
∴B（-4，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=×2×2+×2×1=3．
點評：此題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題時首先利用待定系數法確定函數的解析式，然后利用三角形的面積公式、面積的割補法及解一元二次方程即可解決問題．