Question

已知如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，點D在AB 的延長線上，∠BCD=∠A。
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）過點C作CE⊥AB于E，若CE=2，cosD=，求⊙O的半徑。

Answer 1

解：（1）連接CO， ∵AB是⊙O直徑， ∴∠1+∠OCB=90°， ∵AO=CO， ∴∠1=∠A， ∵∠5=∠A， ∴∠5+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， ∴OC⊥CD， 又∵OC是⊙O半徑， ∴CD為⊙O的切線。
（2）∵OC⊥CD于C， ∴∠3+∠D=90°， ∵CE⊥AB于E， ∴∠3+∠2=90°， ∴∠2=∠D， ∴cos∠2=cosD， 在△OCE中，∠OEC=90°， ∴cos∠2=CE/CO， ∵cos∠D= 4/5，CE=2， ∴2/CO=4/5， ∴CO=5/2， ⊙O的半徑為5/2。