Question

某經銷商銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈，銷售過程中發現，如果按進價銷售，每月銷售量為300臺，售價每增加1元，銷量減少10臺，若商場將這種臺燈銷售單價定為x（元），每月銷量為y（件）．
（1）試判斷商場每月銷量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系；
（2）如果經銷商想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？
（3）根據物價部門規定，這種臺燈的銷售單價不得高于32元，如果經銷商想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月用于購進這種臺燈的成本最少需要多少元？

Answer 1

解：（1）y=300-10（x-20）=-10x+500；

（2）設每月利潤為W，
由題意得：W=（x-20）（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
令W=2000，代入解析式得：-10x²+700x-10000=2000，
化簡得 x²-70x+1200=0，
解得：x₁=30，x₂=40，
答：經銷商想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元．
（3）W=10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250，
可知當銷售單價為35元時可獲得最大利潤2250元，
由（2）知當銷售單價為30元時可獲得利潤2000元，得出x的取值范圍：30≤x≤32，
∵y=-10x+500，
∴y隨x的增大而減少，
故當x取最大值32時銷量最小，
則此時購進這種臺燈的成本為20×（-10×32+500）=20×180=3600（元）．
答：每月用于購進這種臺燈的成本最少需要3600元．
分析：（1）每月銷售量y=300-10×（銷售價-進價）；
（2）設每月利潤為W，根據每月利潤=單件利潤×銷售量，從而列出W與x的關系式，令W=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；
（3）根據拋物線的性質和圖象，求出每月的成本．
點評：此題考查了二次函數的應用以及拋物線的基本性質，難度較大，解答本題的關鍵是將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題．