Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求證：AM=2MB；
（2）求證：∠MPB=90°-∠FCM．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接MD，由于點E是DC的中點，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知條件證明△AMD≌△FMC，根據全等三角形的性質可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接著得到∠MAB=30°，再根據30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可證明AM=2BM；
（2）利用（1）的結論得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性質即可得到∠CME=∠FCM，再根據已知條件即可解決問題．
解答：證明：（1）連接MD，
∵點E是DC的中點，ME⊥DC，
∴MD=MC，
又∵AD=CF，MF=MA，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠MAB=30°，
在Rt△AMB中，∠MAB=30°，
∴BM=AM，
即AM=2BM；

（2）∵△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥DC，
∴∠DME=∠CME=∠CMD，
∴∠CME=∠FCM，
在Rt△MBP中，∠MPB=90°-∠CME=90°-∠FCM．
點評：此題主要考查了梯形的性質、全等三角形的性質與判定，及等腰三角形的性質與判定，綜合性比較強．