Question

如圖等腰Rt△ABC中AB=AC，D為斜邊BC上的動點，若BD=nCD，BF⊥AD交AD于E、AC于F．
（1）如圖1，若n=3時，則=______；
（2）如圖2，若n=2時，求證：；
（3）當n=______

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CG⊥AC交AD的延長線與G點，由題意可證明△ABD∽△GCD，，tan∠EAF=，即可證明AF：AC=1：3；
（2）過D作DG∥BF交AC與F點，CD：DB=1：2，CG：GF=1：2，由第一問知AF：AC=CD：BD=1：2，所以，AF：FC=1：1，即可證明DE：AE=2：3；
（3）過D作DG∥BF交AC與F點，設CG=k，則：GF=nk，再由第二問的解題方法可求得n的值．
解答：解：（1）過C作CG⊥AC交AD的延長線于G點，如圖1所示：
∵CG⊥AC，
∴CG∥AB．
∴△ABD∽△GCD．
∴．
∵AB=AC，
∴．
∴tan∠EAF=．
∴．
∵在Rt△ABF中，△AEF∽△BAF，
∴==．
∴=．

（2）過D作DG∥BF交AC于G點，如圖2所示：
∵CD：DB=1：2，
∴CG：GF=1：2．
∵由第一問知AF：AC=CD：BD=1：2，
∴AF：FC=1：1．
∴AF：FG=3：2．
∴AE：ED=3：2．
∴DE=AE．

（3）過D作DG∥BF交AC于G點，如圖3所示：
CD：BD=AF：AC=1：n，
CG：GF=1：n，
設CG=k，則：
GF=nk，
∵AE=2DE，
∴AF=2FG．
∴AF=2nk．
∴AC=3nk+k．
∵AC=nAF，
∴3nk+k=2n²k．
∴n=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質．