Question

某公司開發了一種新型的家電產品，又適逢“家電下鄉”的優惠政策．現投資50萬元用于該產品的廣告促銷，已知該產品的本地銷售量y₁（萬臺）與本地的廣告費用x（萬元）之間的函數關系滿足y₁=3x（0≤x≤50）； 該產品的外地銷售量y₂（萬臺）與外地廣告費用t（萬元）之間的函數關系可用如圖所示的拋物線和線段AB來表示．其中點A為拋物線的頂點．
（1）結合圖象，寫出y₂（萬臺）與外地廣告費用t（萬元）之間的函數關系式；
（2）求該產品的銷售總量y（萬臺）與本地廣告費用x（萬元）之間的函數關系式；
（3）如何安排廣告費用才能使銷售總量最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）當0≤t≤30時，y₂為二次函數，頂點坐標為（30，140），設拋物線頂點式，把（0，50）代入求函數式，當30＜t≤50時，y₂=140；
（2）由x+t=50，得t=50-x，此時，x的取值范圍是0≤x＜20，20≤x≤50，由y=y₁+y₂，分別求該產品的銷售總量y（萬臺）與本地廣告費用x（萬元）之間的函數關系式；
（3）由（2）中的兩個函數關系式，再各范圍內求y的最大值，比較即可．
解答：解：（1）當0≤t≤30時，拋物線頂點坐標為（30，140），設y₂=a（t-30）²+140，
將（0，50）代入，得a（0-30）²+140=50，解得a=-，y₂=-（t-30）²+140，
當30＜t≤50時，y₂=140；

（2）由x+t=50，根據t的取值范圍得，
當0≤x＜20時，y=y₁+y₂=3x+140，
當20≤x≤50時，y=y₁+y₂=3x-（50-x-30）²+140=-0.1（x-35）²+222.5；

（3）由（2）的函數關系式可知，當x=35時，y_最大=222.5萬元，
即：安排本地廣告費35萬元，外地廣告費15萬元，能使銷售總量最大，最大為222.5萬元．
點評：本題考查了二次函數的應用．關鍵是根據函數圖象，分段求出y₂的函數關系式及t的取值范圍，根據兩個變量x、t的和為50，將函數式中的變量進行轉化，根據二次函數的性質求最大值．