Question

已知二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c均為實數且a≠0）滿足條件：對任意實數x都有y≥2x；且當0＜x＜2時，總有y≤

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2

(x+1)2成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a-b+c的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意可知對任意實數x都有y≥2x，
∴當x=1時，y≥2；
且當0＜x＜2時，總有y≤

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2

(x+1)2成立，
故當x=1，y≤2，
∴當x=1時，y=2，故二次函數y=ax²+bx+c經過（1，2）點，
∴a+b+c=2；

（2）ax²+bx+c≥2x，
ax²+（b-2）x+c≥0，
由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）²-4ac≥0，（a-c）²≥0，
所以c=a，b=2-2a．
再列得ax²+bx+c≤

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2

（x+1）²，把c=a，b=2-2a代入可得 （a-

1

2

）x²-2（a-

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2

）x+a-

1

2

≤0，（a-

1

2

）（x-1）²≤0，
因為0＜x＜2，（x-1）≥0，
故a≤

1

2

．
根據圖象法可得此拋物線要永遠在y=2x這條一次函數上方滿足a＞0．
綜上所述，a的取值范圍是0＜a≤

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2

，a-b+c=4a-2，把a的取值范圍代入可得-2＜a-b+c≤0．