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如圖1,AB為⊙O的直徑,AD與⊙O相切于點A,DE與⊙O相切于點E,點C為DE延長線上一點,且CE=CB.
(1)求證:BC為⊙O的切線;
(2)連接AE,AE的延長線與BC的延長線交于點G(如圖2所示),若AB=2,AD=2,求線段BC和EG的長.

【答案】分析:(1)連接OE,OC,即可證明△OEC≌△OEC,根據DE與⊙O相切于點E得到OEC=90°,從而證得∠OBC=90°,則BC是圓的切線.
(2)先求線段BC的長,過D作DF⊥BG于F,則四邊形ABFD是矩形,有DF=AB=2,在Rt△DCF中,由切線長定理知AD=DE、CE=BC,那么CD=CE+2,CF=CE-2,利用勾股定理可求得CE的長;△ADE中,由于AD=DE,可得到∠DAE=∠AED=∠CEG,而AD∥BG,根據平行線的內錯角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG,由此可證得CE=CG=CB,即可求得BG的長;
在Rt△ABG中,利用勾股定理可求得AG的值,易證△ADE∽△GCE,根據相似三角形的相似比,可求得AE、EG的比例關系,聯立AG的長,即可得到EG的值.
解答:(1)證明:連接OE,OC;(1分)
∵CB=CE,OB=OE,OC=OC
∴△OEC≌△OBC(SSS)
∴∠OBC=∠OEC (2分)
又∵DE與⊙O相切于點E
∴∠OEC=90° (3分)
∴∠OBC=90°
∴BC為⊙O的切線.(4分)

(2)解:過點D作DF⊥BC于點F,
∵AD,DC,BG分別切⊙O于點A,E,B
∴DA=DE,CE=CB,
設BC為x,則CF=x-2,DC=x+2,
在Rt△DFC中,
解得:;(6分)
∵AD∥BG,
∴∠DAE=∠EGC,
∵DA=DE,
∴∠DAE=∠AED;
∵∠AED=∠CEG,
∴∠EGC=∠CEG,
∴CG=CE=CB=,(7分)
∴BG=5,
∴AG=;(8分)
解法一:連接BE,

,(9分)
在Rt△BEG中,
,(10分)
解法二:∵∠DAE=∠EGC,∠AED=∠CEG,
∴△ADE∽△GCE,(9分)

=
解得:.(10分)
點評:此題主要考查了切線的判定和性質、全等三角形及相似三角形的判定和性質、勾股定理、切線長定理等知識的綜合應用,是一道難度較大的綜合題.
練習冊系列答案
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18π
18π

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32
,求EF的長.

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BC
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(1)求證:△MBD∽△MAB;
(2)求∠A的度數;
(3)延長AB到E,使BE=BO,連接ME、MC,如圖2,試證明四邊形MCBE是平行四邊形.

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如圖,以AB為直徑的⊙O與AD、DC、BC均相切,若AB=BC=4,則OD的長度為(  )

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