Question

已知在平面直角坐標系xoy中，直線y=-3x-3交x軸于點A，交y軸于點C，點B的坐標為（3，0），拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）已知D（4，-1），在拋物線上是否存在點P，使得以線段PD為直徑的⊙O′經過坐標原點O？若點P存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
（3）已知正方形BEFG的頂點E在x軸上，除B點外，正方形BEFG還有一個頂點在拋物線上，請直接寫出E點所有可能的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線y=-3x-3求出與x軸、y軸的交點坐標，再利用B的坐標，結合待定系數法求出a、b、c值，得到二次函數解析式；
（2）設P點的坐標為（x，x²-2x-3），先根據中點坐標公式得到O′點的坐標為（，），再根據同圓的半徑相等得到O′O=O′D，列出關于x的方程，求解即可；
（3）根據題意，不妨設E點的坐標為（m，0），點F在拋物線y=x²-2x-3上．分兩種情況進行討論：①當BE為正方形BEFG的邊時，則F點的坐標為（m，m²-2m-3），根據正方形的邊長相等，BE=EF列出關于m的方程，求解即可；②當BE為正方形BEFG的對角線時，根據正方形的對角線互相垂直平分且相等，得出F點的坐標為（，||），將它代入拋物線的解析式，列出關于m的方程，求解即可．
解答：解：（1）直線y=-3x-3與x軸的交點為（-1，0），與y軸的交點為（0，-3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）在拋物線上存在點P（3+2，12+8）或（3-2，12-8），能夠使得以線段PD為直徑的⊙O′經過坐標原點O．理由如下：
設P點的坐標為（x，x²-2x-3）．
∵線段PD為⊙O′的直徑，D（4，-1），
∴O′點的坐標為（，）．
∵O′O=O′D，
∴（）²+（）²=（-4）²+（+1）²，
整理，得x²-6x-3=0，
解得x=3±2．
當x=3+2時，x²-2x-3=（3+2）²-2（3+2）-3=12+8，此時P點的坐標為（3+2，12+8），
當x=3-2時，x²-2x-3=（3-2）²-2（3-2）-3=12-8，此時P點的坐標為（3-2，12-8）；


（3）不妨設點F在拋物線y=x²-2x-3上，E點的坐標為（m，0）．
分兩種情況：
①當BE為正方形BEFG的邊時，則F點的坐標為（m，m²-2m-3）．
∵四邊形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
∴|m-3|=|m²-2m-3|，
即m-3=m²-2m-3，或m-3=-（m²-2m-3），
解得m₁=0，m₂=3，或m₁=-2，m₂=3，
當m=3時，E點與B點重合，不合題意，舍去，
∴E點的坐標為（0，0）或（-2，0）；
②當BE為正方形BEFG的對角線時，
∵BE=FG，BE⊥FG，BE與FG互相平分，
∴點F在BE的垂直平分線上，且點F到BE的距離BE，
∴F點的坐標為（，||），
∵點F在拋物線y=x²-2x-3上，
∴||=（）²-2（）-3，
即=（）²-2（）-3，或-=（）²-2（）-3，
解得m₁=-3，m₂=3，或m₁=-7，m₂=3，
當m=3時，E點與B點重合，不合題意，舍去，
∴E點的坐標為（-3，0）或（-7，0）．
綜上可知，E點所有可能的坐標為（0，0）或（-2，0）或（-3，0）或（-7，0）．
點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，中點坐標公式，兩點間的距離公式，正方形的性質，綜合性較強，難度較大，其中（3）進行分類討論是解題的關鍵．