Question

【題目】在正方形ABCD中，點E是射線AC上一點，點F是正方形ABCD外角平分線CM上一點，且CF=AE，連接BE，EF.

(1)如圖1，當E是線段AC的中點時，直接寫出BE與EF的數量關系；

(2)當點E不是線段AC的中點，其它條件不變時，請你在圖2中補全圖形，判斷(1)中的結論是否成立，并證明你的結論；

(3)當點B，E，F在一條直線上時，求∠CBE的度數.(直接寫出結果即可)

Answer 1

【答案】（1）EF=BE；（2）EF=BE，理由見解析；（3）當B，E，F在一條直線上時，∠CBE=22.5°

【解析】

（1）證明△ECF是等腰直角三角形即可;
（2）圖形如圖2所示：（1）中的結論仍然成立，即EF=BE．只要證明BE=DE，△DEF是等腰直角三角形即可;
（3）圖形如圖2所示：（1）中的結論仍然成立，即EF=BE．只要證明∠CBF=∠CFB即可．

解：（1）如圖1中，結論：EF=BE．
理由：

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∵AE=EC，
∴BE=AE=EC，
∵CM平分∠DCG，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°，
∵CF=AE，
∴EC=CF，
∴EF=EC，
∴EF=BE．

（2）圖形如圖2所示：（1）中的結論仍然成立，即EF=BE．
理由：連接ED，DF．

由正方形的對稱性可知，BE=DE，∠CBE=∠CDE
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAC=45°，
∵點F是正方形ABCD外角平分線CM上一點，
∴∠DCF=45°，
∴∠BAC=∠DCF，
由∵CF=AE，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，
∴DE=DF，
又∵∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
即∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形
∴EF=DE，
∴EF=DE．

（3）如圖3中，當點B，E，F在一條直線上時，∠圖形如圖2所示：（1）中的結論仍然成立，即EF=BE．CBE=22.5°．

理由：∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴E，C，F，D四點共圓，
∴∠BFC=∠CDE，
∵∠ABE=∠ADE，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠CBE，
∴∠CBF=∠CFB，
∵∠FCG=∠CBF+∠CFB=45°，
∴∠CBE=22.5°．