Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x﹣2圖象與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側）．若C（m，1﹣m）是拋物線上位于第四象限內的點，D是線段AB上的一個動點（不與A，B重合），過點D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．

（1）、求點A和點B的坐標；

（2）、求證：四邊形DECF是矩形；

（3）、連接EF，線段EF的長是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、（﹣1，0），（4，0）；（2）、證明過程見解析；（3）、2.

【解析】

試題分析：（1）、根據拋物線的解析式來求點A、B的坐標即可；（2）、欲證明四邊形DECF是矩形，只需證得四邊形DECF是平行四邊形且有一內角為直角即可；（3）、連接CD，根據矩形DECF的對角線相等得到：EF=CD．當CD⊥AB時，CD的值最小，即EF的值最小．

試題解析：（1）、當y=0時，﹣x﹣2=0， 解方程，得 x1=﹣1，x2=4． ∵點A在點B的左側，

∴點A、B的坐標分別是（﹣1，0），（4，0）；

（2）、把C（m，1﹣m）代入y=﹣x﹣2得：－2=1－m 解方程，得m=3或m=﹣2．

∵點C位于第四象限， ∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1， ∴m=﹣2舍去， ∴m=3，

∴點C的坐標為（3，﹣2）． 過點C作CH⊥AB于H，則∠AHC=∠BHC=90°．

由A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣2）得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5， ∴=2．

又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB， ∴∠ACH=∠CBH． ∵∠CBH+∠BCH=90°，

∴∠ACH+∠BCH=90°， ∴∠ACB=90°， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四邊形DECF是平行四邊形，

∴平行四邊形DECF是矩形；

（3）、存在．理由如下： 連接CD． ∵平行四邊形DECF是矩形， ∴EF=CD．

當CD⊥AB時，CD的值最小． ∵C（3，2）， ∴DC的最小值是2， ∴EF的最小值是2．