Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC上一個動點（不與B、C重合），在AC上取E點，使∠ADE=45度．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式；
（3）當：△ADE是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：此題有三問，（1）證明△ABD∽△DCE，已經有∠B=∠C，只需要再找一對角相等就可以了；
（2）由（1）證得△ABD∽△DCE，有相似就線段成比例，于是利用（1）的結果可證得（2）；
（3）當△ABD∽△DCE時，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分兩種情況證明結論．
解答：（1）證明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴；
∵BD=x，
∴CD=BC-BD=-x．
∴，
∴CE=x-x²．
∴AE=AC-CE=1-（x-x²）=x²-x+1．
即y=x²-x+1．

（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴當△ADE是等腰三角形時，第一種可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD=-1．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=2-．
當△ADE是等腰三角形時，第二種可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此時有∠DEA=90°．
即△ADE為等腰直角三角形．
∴AE=DE=AC=．
當AD=EA時，點D與點C重合，不合題意，所以舍去，
因此AE的長為2-或．
點評：此題三個問題各有特點，卻又緊密相聯，第一個問題考查的是三角形的相似；第二個問題看起來是考查的函數但卻與第一問緊密相聯，運用第一問的結論即可順利解決；第三問的關鍵是分類討論，要考慮等腰的幾種不同情況．