Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知：△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0）．
（1）求AO、AB所在直線的函數(shù)解析式；
（2）在△AOB內(nèi)可以作一個正方形CDEF，使它的三個頂點分別落在邊AO、AB上，E、F兩個頂點落在OB上，請求出這個正方形四個頂瞇的坐標(biāo)，并在圖中畫出這個正方形；
（3）連接OC，在線段OC上任取一點P，過P作與x軸、y軸的不行線與OA、OB分別交于M、N兩點，過M作OB邊的垂線與OB交于H；你有什么發(fā)現(xiàn)？請寫出來，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A（4，6）、B（0，0）、C（6，0），所以可設(shè)OA所在直線的解析式為：y=k₁x，把A（4，6）代入得到關(guān)于k₁的方程，解之即可；可設(shè)AB所在直線的解析式為：y=k₂x+b，把A（4，6）、B（6，0）代入得到關(guān)于k₂、b的方程組，解之即可；
（2）因為在△AOB內(nèi)可以作一個正方形CDEF，使它的三個頂點分別落在邊AO、AB上，E、F兩個頂點落在OB上，所以可過A作AS⊥OB于S，交CD于T，利用DC∥EF，可得△ADC∽△AOB，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比，可得

AT

AS

=

CD

OB

，由點的坐標(biāo)可知OB=6，AS=6，所以AT=DC=TS=3，故可設(shè)D（x，3），利用D（x，3）在y=

3

2

x的圖象上，求出x的值就求出了D的坐標(biāo)；同樣可設(shè)C點的坐標(biāo)為（x，3），因為CD=3，結(jié)合D的橫坐標(biāo)可得到x-2=3，即x=5，就可求出C（5，3），根據(jù)CDEF是正方形，即可寫出E、F的坐標(biāo)．
（3）因為DC∥PM∥HN，PN∥FC∥HM，可得

MP

DC

=

OP

OC

，

PN

CF

=

OP

OC

，

MP

DC

=

PN

CF

，MHNP是平行四邊形，利用四邊形EFCG是正方形，DC=CF，可得MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB，所以四邊形MHNP是正方形．

解答：解：（1）設(shè)OA所在直線的解析式為：y=k₁x，
把A（4，6）代入得4k₁=6，∴k1=

3

2

∴AO所在直線的解析式為：y=

3

2

x（2分）
設(shè)AB所在直線的解析式為：y=k₂x+b，
把A（4，6）、B（6，0）代入得

4k2+b=6 6k2+b=0

，
解得

k2=-3 b=18

，
∴AB所在直線的解析式為：y=-3x+18．（4分）

（2）過A作AS⊥OB于S，交CD于T．
∵DC∥EF，
∴△ADC∽△AOB，
∴

AT

AS

=

CD

OB

．
∵A（4，6），B（6，0），
∴OB=6，AS=6，

AT

6

=

CD

6

，
∴AT=DC=TS=3，故可設(shè)D（x，3），
∵D（x，3）在y=

3

2

x的圖象上，
∴x=2，故D（2，3），（6分）
可設(shè)C點的坐標(biāo)為（x，3）
∵CD=3，
∴x-2=3，即x=5，
∴C（5，3），（7分）
又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF，
∴E、F兩點的坐標(biāo)分別為：E（2，0）、F（5，0）．（8分）

（3）四邊形MHNP是矩形．（9分）
∵DC∥PM，PN∥FC
∴

MP

DC

=

OP

OC

，

PN

CF

=

OP

OC

（10分）
∴

MP

DC

=

PN

CF

．
又∵四邊形EFCG是正方形，DC=CF．
∴MP=NP，而MH⊥OB，PN⊥OB，
∴四邊形MHNP是正方形．（12分）

點評：本題的解決需利用待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、正方形的判定這些知識，另外解決這類問題常用到數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．