Question

【題目】已知拋物線y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常數）．

（1）證明：該拋物線與x軸總有交點；

（2）設該拋物線與x軸的一個交點為A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若a為整數，將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，其余部分保持不變，得到一個新圖象G，請你結合新圖象，探究直線y＝kx+1（k為常數）與新圖象G公共點個數的情況．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1＜a≤；（3）新圖象G公共點有2個．

【解析】

（1）令拋物線的y值等于0，證所得方程的△＞0即可；

（2）將點A坐標代入可求m的值，即可求a的取值范圍；

（3）分k＞0和k＜0兩種情況討論，結合圖象可求解．

解：（1）設y＝0，則0＝x2+（1﹣2a）x﹣2a，

∵△＝（1﹣2a）2﹣4×1×（﹣2a）＝（1+2a）2≥0，

∴x2+（1﹣2a）x﹣2a＝0有實數根，

∴該拋物線與x軸總有交點；

（2）∵拋物線與x軸的一個交點為A（m，0），

∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，

∴m＝﹣1，m＝2a，

∵2＜m≤5，

∴2＜2a≤5，

∴1＜a≤；

（3）∵1＜a≤，且a為整數，

∴a＝2，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣3x﹣4，

如圖，當k＞0時，

若y＝kx+1過點（﹣1，0）時，直線y＝kx+1（k為常數）與新圖象G公共點有3個，

即k＝1，

當0＜k＜1時，直線y＝kx+1（k為常數）與新圖象G公共點有4個，

當k＞1時，直線y＝kx+1（k為常數）與新圖象G公共點有2個，

如圖，當k＜0時，

若y＝kx+1過點（4，0）時，直線y＝kx+1（k為常數）與新圖象G公共點有3個，

即k＝﹣，

當﹣＜k＜0時，直線y＝kx+1（k為常數）與新圖象G公共點有4個，

當k＜﹣時，直線y＝kx+1（k為常數）與新圖象G公共點有2個，