Question

21、已知：如圖，在△ABC中，點D是∠BAC的角平分線上一點，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E．求證：點E是過A，B，D三點的圓的圓心．

Answer 1

分析：要求證：點E是過A，B，D三點的圓的圓心，只要證明AE=BE=DE即可，可以根據等角對等邊可以證得．

解答：證明：∵點D在∠BAC的平分線上，
∴∠1=∠2．（1分）
又∵DE∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．（2分）
∴AE=DE．（3分）
又∵BD⊥AD于點D，
∴∠ADB=90°．（4分）
∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．（5分）
∴∠EBD=∠EDB．（6分）
∴BE=DE．（7分）
∴AE=BE=DE．（8分）
∵過A，B，D三點確定一圓，又∠ADB=90°，
∴AB是A，B，D所在的圓的直徑．（9分）
∴點E是A，B，D所在的圓的圓心．（10分）

點評：本題主要考查了等腰三角形的判定方法，等角對等邊．