Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O在邊AC上，⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點，與邊AC交于E點，弦CF與AB平行，與DO的延長線交于M點．

（1）求證：點M是CF的中點；

（2）若E是的中點，BC＝a，

①求的弧長；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①πa；②＝1．

【解析】

（1）由切線的性質可得∠ACB＝∠ODB＝90°，由平行線的性質可得OM⊥CF，由垂徑定理可得結論；

（2）①由題意可證△BCD是等邊三角形，可得∠B＝60°，由直角三角形的性質可得AB＝2a，AC＝a，AD＝a，通過證明△ADO∽△ACB，可得，可求DO的長，由弧長公式可求解；

②由直角三角形的性質可求AO＝a，可得AE的長，即可求解．

證明：（1）∵⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點，

∴∠ACB＝∠ODB＝90°，

∵CF∥AB，

∴∠OMF＝∠ODB＝90°，

∴OM⊥CF，且OM過圓心O，

∴點M是CF的中點；

（2）①連接CD，DF，OF，

∵⊙O與△ABC的邊BC，AB分別相切于C，D兩點，

∴BD＝BC，

∵E是的中點，

∴，

∴∠DCE＝∠FCE，

∵AB∥CF，

∴∠A＝∠ECF＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠BCD，

∴BD＝CD，且BD＝BC，

∴BD＝BC＝CD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠A＝30°＝∠ECF＝∠ACD，

∴∠DCF＝60°，

∴∠DOF＝120°，

∵BC＝a，∠A＝30°，

∴AB＝2a，AC＝a，

∴AD＝a，

∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠ACB＝90°，

∴△ADO∽△ACB，

∴，

∴

∴DO＝a，

∴的弧長＝＝πa；

②∵∠A＝30°，OD⊥AB，

∴AO＝2DO＝a，

∴AE＝AO﹣OE＝﹣a＝a，

∴＝1．